第 1–3 课搭好了：HCM 造源 $Y_0$，KGC 定义条件如何进入 $v_\theta$。这一课补第三件套：Classifier-Free Guidance (CFG) ——训练时随机丢条件，推理时在有/无条件速度之间线性外推。读完后你应能默写 Eq.15–17，并逐步复述 Appendix B.1 Algorithm 1。
CFG 在三件套里的位置
前提 ：CFG 假设同一网络已经会两条模式——$v_\theta(\cdot,c)$ 与 $v_\theta(\cdot,\varnothing)$。KGC 负责把 $c$ 写进前向；若条件通路脏了，加大 $\gamma$ 等于放大脏信号。所以 KGC 是 CFG 的前提，不是可选项。
条件对象是什么
论文把条件定义为外生集合：
$$c=\{X_{\text{exo}},\,Y_{\text{exo}}\}.$$
空条件 $\varnothing$（Algorithm 1 里记 $c_\varnothing\leftarrow 0$）表示不提供外生 ——走协变量无关模式 $q_\theta(Y_{\text{endo}}\mid X_{\text{endo}})$。注意：HCM 仍用 $X_{\text{endo}}$ 造 $Y_0$；CFG 丢的是外生，不是历史内生。
与图像 CFG 的同构 / 差异 ：形式同 Ho & Salimans（2022）——联合训练有/无条件，推理线性外推。语义从"类别/文本遵循"换成"外生驱动强度"。丢弃对象是协变量集合 $c$，不是类标。
训练：随机掩码条件
$$\tilde c=\begin{cases}
\varnothing & \text{with probability }p_{\text{con}}\\
c & \text{with probability }1-p_{\text{con}}
\end{cases}\qquad\text{(Eq.15)}$$
路径与目标速度仍由 HCM 源构造（训练时 $Y_{\text{endo}}$ 可见）：
$$Y_s=s\,Y_{\text{endo}}+(1-s)\,Y_0,\qquad \hat v=Y_{\text{endo}}-Y_0.$$
Flow Matching 损失：
$$\boxed{L_{\text{FM}}=\big|v_\theta(Y_s,s,\tilde c)-(Y_{\text{endo}}-Y_0)\big|}\qquad\text{(Eq.16)}$$
每个 batch 以 $p_{\text{con}}$ 把外生换成空条件，于是同一套参数同时逼近：
协变量条件速度场 $v_\theta(Y_s,s,c)$ — 经 KGC 吃外生协变量无关速度场 $v_\theta(Y_s,s,\varnothing)$ — KGC 无外生可注，退回内生路径行为
总训练信号还叠加 HCM 的 $L_{CC}$（校准 $\sigma$）。CFG 本身不引入新的结构模块，只改变条件输入是否出现 。
训练一步
X_endo ──► HCM ──► Y0 = μ + σ·δ
Y_endo, Y0 ──► Y_s = s·Y_endo + (1-s)·Y0
target v̂ = Y_endo − Y0
c = {X_exo, Y_exo}
│
▼ Bernoulli(p_con)
c̃ ∈ {c, ∅}
│
▼
v_θ(Y_s, s, c̃) ← 若 c̃=c，KGC 注入外生；若 c̃=∅，无外生
│
▼
L_FM = |v_θ − (Y_endo − Y0)|
(+ L_CC 管 σ)
推理：线性外推 + Euler ODE
推理时 $Y_{\text{endo}}$ 未知，不能再构造训练式 $Y_s$。流程是：
HCM 用 $X_{\text{endo}}$ 采样 $Y_0$
从 $Y_0$ 出发，沿学到的速度场积到 $s=1$
每一步同时算有条件与无条件速度，外推后再积分
引导速度场：
$$\boxed{\hat v_s(Y_s,c)=(1+\gamma)\,v_\theta(Y_s,s,c)-\gamma\,v_\theta(Y_s,s,\varnothing)}\qquad\text{(Eq.17)}$$
改写一下更直观：
$$\hat v_s=v_\theta(c)+\gamma\big(v_\theta(c)-v_\theta(\varnothing)\big).$$
$v_\theta(c)-v_\theta(\varnothing)$：外生带来的"条件差"
$\gamma$：把这条差放大/缩小多少
$\gamma=0$：退回纯条件生成 $v_\theta(c)$
$\gamma>0$：远离"无外生平均行为"，更贴当前协变量驱动
经验最优 $\gamma\in\{1.2,1.4\}$：外生依赖强，但 $\gamma$ 过大伤分布校准（CRPS 变差）。
Algorithm 1 逐步走读
Appendix B.1 的推理伪代码（Euler 离散化）：
Algorithm 1 Inference with Classifier-Free Guidance
────────────────────────────────────────────────────
Input: X_endo, X_exo, Y_exo, initial state Y0
Hyper: steps N, guidance scale γ
Output: Ŷ_endo
c∅ ← 0
Y_curr ← Y0
Δs ← 1/N
for i = 0 … N−1:
s ← i/N
v_cond ← v_θ(Y_curr, s, X_exo, Y_exo) # 有条件
v_uncond ← v_θ(Y_curr, s, c∅) # 无条件
v̂ ← (1+γ)·v_cond − γ·v_uncond # CFG 外推
Y_curr ← Y_curr + v̂ · Δs # Euler 步
end for
Ŷ_endo ← Y_curr
return Ŷ_endo
逐步语义 ：
$Y_0$ 从哪来 ：输入写 "Initial state $Y_0$"——它由 HCM 从 $X_{\text{endo}}$ 采样得到，不是高斯噪声。$s=i/N$ ：时间从 0 走到接近 1；共 $N$ 步，步长 $\Delta s=1/N$。两次前向 ：同状态 $Y_{\text{curr}}$、同时刻 $s$，分别带 $c$ 与 $c_\varnothing$ 过 $v_\theta$——代价约 2× 单次前向。外推 ：$\hat v=(1+\gamma)v_{\text{cond}}-\gamma v_{\text{uncond}}$。Euler ：$Y\leftarrow Y+\hat v\Delta s$。这是最简单的 ODE 求解器；论文主设定用它。终点 ：$Y_{\text{curr}}$ 即一次采样 $\hat Y_{\text{endo}}$。概率分布 $p_\theta$ 靠多次采样（不同 $Y_0$ 的 $\delta$ 噪声）来表征。
训练 vs 推理的关键差 ：训练里 $Y_s$ 由真实 $Y_{\text{endo}}$ 与 $Y_0$ 插值构造，回归目标速度；推理里没有 $Y_{\text{endo}}$，只能从 $Y_0$ 起用 $\hat v$ 积分。CFG 的两次前向只在推理（及训练时的随机掩码）出现；训练单步通常只算一个 $\tilde c$ 下的 $v_\theta$。
组会常被追问的三点
$\gamma$ 太大为什么伤校准？ 外推把条件差放大，轨迹更"贴外生"，但可能偏离真实条件分布，点预测或尖峰变强、覆盖变差 → CRPS 变差。无条件速度还要 HCM 吗？ 要。$Y_0$ 仍由 $X_{\text{endo}}$ 造；无条件只是不喂 $X_{\text{exo}},Y_{\text{exo}}$。HCM 与 CFG 正交：一个改起点，一个改外生强度。为什么必须 KGC + CFG？ 消融显示三者齐用最优。CFG 放大的是 KGC 学到的条件差；HCM 缩小传输负担。缺任一环，上限都掉。
组会收口可以这样讲："CFG 不改网络结构，只改训练时条件是否出现、推理时速度如何组合。训练以 p_con 随机把 c={X_exo,Y_exo} 换成空，让同一 v_θ 学会有外生与无外生两种速度。推理从 HCM 的 Y0 出发，每步算 v_cond 与 v_uncond，用 (1+γ)v_cond − γ v_uncond 外推后 Euler 积分 N 步。γ 是外生驱动强度旋钮：0 退回条件生成，经验上 1.2–1.4 最稳。KGC 决定条件差干净与否；CFG 只决定把这条差拧多紧。"
自测
Check 1
训练时以 $p_{\text{con}}$ 丢弃的是什么？
历史内生 $X_{\text{endo}}$
外生条件 $c=\{X_{\text{exo}},Y_{\text{exo}}\}$
源 $Y_0$ 本身
目标速度 $\hat v$
对。丢的是外生集合 $c$，不是 $X_{\text{endo}}$。HCM 仍然用内生历史造源；$X_{\text{endo}}$ 始终在。
Check 2
Algorithm 1 每一步为什么要两次 $v_\theta$ 前向？
分别更新 $\mu$ 与 $\sigma$
分别处理历史与未来外生
分别得到 $v_{\text{cond}}$ 与 $v_{\text{uncond}}$，再线性外推 $\hat v$
一次算训练损失，一次算验证
对。同状态、同时刻下算有/无条件速度，再 $\hat v=(1+\gamma)v_{\text{cond}}-\gamma v_{\text{uncond}}$。代价约 2× 前向。
Check 3
$\gamma=0$ 时推理速度场等于什么？
$v_\theta(Y_s,s,c)$（纯条件生成）
$v_\theta(Y_s,s,\varnothing)$（纯无条件）
$Y_{\text{endo}}-Y_0$（训练目标本身）
$\mu_{\text{hist}}$（HCM 质心）
对。$\hat v=(1+0)v(c)-0\cdot v(\varnothing)=v(c)$，CFG 关闭，退回条件生成。
易混点 ：Algorithm 1 的 $Y_{\text{curr}}\leftarrow Y_{\text{curr}}+\hat v\Delta s$ 是在推流状态，不是在更新 $Y_0$。$Y_0$ 只在循环外初始化一次；循环内改的是路径上的 $Y_s$ 近似。